Arbre généalogique et suite géométrique - Activité

La numérotation Sosa est une méthode utilisée en généalogie permettant d'identifier par un numéro unique chaque ancêtre d'un individu.

La personne dont on fait l'arbre reçoit le numéro 1. On l'appelle la souche de l'arbre. Elle se trouve à la génération \(n=0.\)

• Son père porte le numéro 2 et sa mère le numéro 3.
  
• Chaque homme reçoit pour numéro le double de celui de son enfant.
• Chaque femme reçoit pour numéro le double de celui de son enfant, augmenté de 1.
  

La 2^e génération \((n=2)\) est composée des quatre grands-parents, lesquels sont numérotés de 4 à 7.

Illustration de la numérotation Sosa jusqu'à la génération n° 4

1. Quels numéros doit-on associer aux parents du numéro Sosa 17 ?

2. Combien la personne souche possède-t-elle d'ancêtres à la  3 ^e génération `(n=3)` ? Et à la 4^e ?

3. On appelle \(u(n)\) le nombre d'ancêtres à la \(n\) -ième génération, en posant \(u(0)=1\) .

    a. Donner les valeurs de \(u(n)\) pour tout entier naturel \(n\) compris entre 1 et 10.

    b. Quelle relation existe-t-il entre  \(u(n+1)\) et \(u(n)\)  ?

4. Conjecturer une formule donnant le nombre d'ancêtres théoriques à la `n` -ième génération.

5. On s'intéresse au nombre d'ancêtres d'une personne née en 2000. On estime qu'il y a environ trois générations par siècle.

    a. Combien de générations séparent cette personne de ses ancêtres nés vers l'an 1000 ?

    b. En utilisant la calculatrice, donner une valeur approchée de \(2^{30}\) .

    c. On estime que la population mondiale vers l'an 1000 était comprise entre 254 et 354 millions d'individus. Quelle(s) conclusion(s) peut-on en tirer ?